積分　1/(a^2+x^2)

${\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}dx}$　　${\displaystyle \left(a\ne 0\right)}$

${\displaystyle x=atant\left(-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2}\right)}$ とおいて置換積分を行う．すると

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{a}{{cos}^{2}t}\to dx=\frac{a}{{cos}^{2}t}dt}$

よって

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{a^2+a^2{tan}^{2}t}·\frac{a}{{cos}^{2}t}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+{tan}^{2}t}·\frac{1}{{cos}^{2}t}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{a}\int {cos}^{2}t·\frac{1}{{cos}^{2}t}dt}$　${\displaystyle \left(\because 1+{tan}^{2}t=\frac{1}{{cos}^{2}t}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{a}\int dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{a}t+C}$　　(${\displaystyle C}$ :積分定数)

${\displaystyle =\frac{1}{a}{tan}^{-1}\frac{x}{a}+C}$

　

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最終更新日： 2023年10月4日